STATISTIK

Nilai-nilai Xi yang ordinatnya membagi seluruh distribusi dalam 4 (empat) bagian yang sama dinamakan nilai-nilai kuartil. Q1 merupakan kuartil pertama, Q2 merupakan kuartil kedua dan sama dengan median (Q2 = md), sedangkan Q3 dinamakan kuartil ketiga. Dalam distribusi kuartil, 50% dari semua nilai-nilai observasi seharusnya terletak antara Q1 dan Q3. Jarak antara Q1 dan Q3 dinamakan jarak inter-kuartil (inter-quartilrange). Makin kecil jarak tersebut, maka makin tinggi tingkat konsentrasi distribusi tengah seluas 50% dari seluruh distribusi.

Secara teoritis, pengukuran deviasi kuartil sebuah sampel dapat dirumuskan sebagai:

Selanjutnya dapat dikatakan bahwa deviasi kuartil adalah sebesar +dQ atau –dQ dari mediannya.

Contoh :

Untuk data kelompok pada contoh soal Kuartil, diperoleh :

Variansi dan Standar Deviasi

variansi merupakan salah satu ukuran sebaran yang paling sering digunakan dalam berbagai analisis statistika. Standar deviasi merupakan akar kuadrat positif dari variansi. Secara umum, variansi dirumuskun sabagai :

Jika kita memiliki n observasi yaitu X1,X2,….Xn, dan diketahui Xbar adalah rata-rata sampel yang dimiliki, maka variansi dapat dihitung sebagai :

sedangkan untuk populasi, variansi dihitung sebagai :

selanjutnya untuk standar deviasi, dinotasikan sebagai :

Contoh :
Jika dimiliki data : 210, 340, 525, 450, 275
maka variansi dan standar deviasinya :
mean = (210, 340, 525, 450, 275)/5 = 360
variansi dan standar deviasi berturut-turut :

Sedangkan jika data disajikan dalam tabel distribusi frekuensi, variansi sampel dapat dihitung sebagai :

notes:

“A low standard deviation indicates that the data points tend to be very close to the mean, whereas high standard deviation indicates that the data are spread out over a large range of values.”

Ukuran LOKASI

Ukuran lokasi terdiri atas :

1.      Median

Median adalah nilai observasi yang membagi data menjadi 2 bagian yang sama dan juga dikenal sebagai kuartil 2 (K2)

2.      Kuartil

Kuartil adalah nilai-nilai observasi yang membagi data menjadi 4 bagian yang sama, yang selanjutnya disebut k_1, k₂ (median) dan k₃. Kuartil dapat ditentukan dengan terlebih dahulu menentukan nilai n/4 –>  p, dan selanjutnya diperoleh:

k₁ = observasi ke-p dari yang terkecil

k₃ = observasi ke-p dari yang terbesar.

3.     Desil

Desil adalah nilai-nilai observasi yang membagi data menjadi 8 bagian yang sama.

4.      Persentil

Persentil adalah nilai-nilai observasi yang membagi data menjadi 100 bagian yang sama.

5.      Kuantil / N-til

Kuarntil adalah nilai-nilai observasi yang membagi data menjadi N bagian yang sama.

Suatu data akan mempunyai :

• 1 Median
• 3 Kuartil
• 7 Desil
• 99 Persentil
• (N-1)kuantil/N-til

Menghitung nilai-nilai kuartil, desil, persentil dan kuantil suatu data yang disajikan dalan distribusi frekuensi, sama dengan cara menghitung median, dengan rumus :

dimana :

Lki     : Batas Bawah interval kuantil ke-i
F         : Nomor urut data tertinggi sebelum interval kuantil ke-i

=Jumlah frekuensi interval – Interval sebelum interval kuantil ke-i

n         : Banyaknya data
fki       : frekuensi Interval kuantil ke-i
c          : lebar interval median
N         : Banyaknya Interval
i = 1,2,3,…(N-1)
Contoh : (data pada contoh median)

Modus

Modus adalah anggota data atau nilai observasi yang paling sering muncul dalam sekumpulan data observasi. Berbeda dengan Mean dan Median yang hanya dapat dihitung jika data kuantitatif, modus juga dapat dicari meskipun data bersifat kualitatif karena kita berbicara mengenai nilai observasi yang paling sering muncul  (berapa kali kemunculan observasi yang sama) bukan mencari suatu konstanta tertentu.

contoh :

jika dimiliki data dengan nilai-nilai : 1, 3, 6, 4, 4, 2, 6, 7, 8, 4 , maka modus dari kumpulan datum tersebut adalah 4 yang muncul sebanyak 3 kali.

atau

jika dimiliki data dengan nilai-nilai : 1, 3, 5, 3, 4, 6, 4, 7 maka modus dari data tersebut adalah 3 dan 4 yang masing-masing muncul sebanyak 2 kali.

sedangkan jika data disajikan dalam sebuah tabel distribusi frekuensi (interval), nilai modus dapat dicari dengan menggunakan formula:

dimana :

Lmo : Batas bawah interval modus

a        : beda frekuensi interval modus dengan interval sebelumnya

b        : beda frekuensi interval modus dengan interval sesudahnya

c         : panjang interval

dan interval modus adalah interval yang memiliki frekuensi paling banyak.

contoh: (gunakan data pada contoh median)

diperoleh : interval modus adalah 49,5 – 59,5

Lmo = 49,5

a = 21 – 16 = 5

b = 21 – 14 = 7

c = 10

maka diperoleh :

Median

Median atau nilai tengah adalah nilai data observasi yang membagi data menjadi dua setelah data diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar. Sederhananya :

jika mempunyai deretan bilangan:

Banyaknya bilangan ganjil,

Misal :  23, 14, 25, 36, 47   diurutkan menjadi : 14, 23, 25, 36, 47
maka median data adalah 25
Banyaknya bilangan genap
misal : 13, 14, 15, 17, 28, 30
maka mediannya adalah (15+17)/2= 16

sedangkan untuk data yang disajikan dengan distribusi frekuensi, cara mencari nilai media dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu :

1. menggunakan gambar (histogram)
diperoleh : median = 49,5 + a , dimana a adalah jarak 49,5 ke median data
dan dapat dihitung dengan : a = sehingga median dari data adalah : 49,5 + 4,76 = 54,26
2. cara interpolasi
Rumus :

dimana :
L md : Batas Bawah interval median
F         : Nomor urut data tertinggi sebelum interval median

=Jumlah frekuensi interval – Interval sebelum interval median

n         : Banyaknya data
fmd    : frekuensi Interval median
c          : lebar interval median
contoh :
dimiliki data :

dengan batas interval :

dan diperoleh bahwa median berada paa observasi ke 84/2 = 42 yang terletak pada interval 49,5 – 59,5, maka
Lmd = 49,5
n= 84
F = 7 + 9 + 16 = 32
c = 10
fmd = 21
maka :